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速通统计学

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本文为 UESTC 《概率论与数理统计》课程统计学部分（6-10章）期末考试复习速通笔记，旨在背多分。

四个统计学分布​

正态分布​

X∼N(μ,σ2)E(X)=μ,D(X)=σ2X\sim N(\mu, \sigma^2)\\ E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2

卡方分布​

χ2=∑i=1nXi2∼χ2(n) 其中 X∼N(0,1)E(χ2)=n,D(χ2)=2n\chi^2=\sum_{i=1}^n X_i^2\sim\chi^2(n)\\ \text{ 其中 } X \sim N(0, 1)\\ E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n

t 分布​

又叫学生分布

T=XY/n∼t(n) 其中 X∼N(0,1),Y∼χ2(n)T=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)\\ \text{ 其中 } X \sim N(0, 1), Y\sim\chi^2(n)

F 分布​

又叫费希尔（Fisher）分布

F=X/n1Y/n2∼F(n1,n2) 其中 X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)F=\dfrac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F(n_1,n_2)\\ \text{ 其中 } X\sim\chi^2(n_1), Y\sim\chi^2(n_2)

参数估计与假设检验​

距估计​

μ^=X‾σ^2=n−1nS2\hat{\mu}=\overline{X}\\ \hat{\sigma}^2=\dfrac{n-1}nS^2

极大似然估计​

核心思想是使似然函数 LL 取极大值。即求出一个 θ\theta，使取出这个样本的概率最大。

L=∏i=1nP(Xi=xi)ln⁡L=∑i=1nln⁡P(Xi=xi)∂ln⁡L∂θ=0L=\prod_{i=1}^nP(X_i=x_i)\\ \ln L=\sum_{i=1}^n \ln P(X_i=x_i)\\ \dfrac{\partial \ln L}{\partial\theta}=0

区间估计与假设检验​

  • 估计或检验 μ\mu，当 σ\sigma 已知时
U=X‾−μσ/n∼N(0,1)U=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)
  • 估计或检验 μ\mu，当 σ\sigma 未知时
T=X‾−μS/n∼t(n−1)T=\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)
  • 估计或检验 σ\sigma，当 μ\mu 未知时
χ2=n−1σ2S2∼χ2(n−1)\chi^2=\dfrac{n-1}{\sigma^2}S^2\sim\chi^2(n-1)

第一类错误：弃真（犯错概率为 α\alpha）

第二类错误：纳伪

线性回归​

lxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉlxx=∑i=1nxi2−nxˉ2lyy=∑i=1nyi2−nyˉ2b^=lxylxx,a^=yˉ−b^xˉσ^2=lyy−b^2lxxn−2R=lxylxxlyy>Rα(n−2)l_{xy}=\sum_{i=1}^nx_iy_i-n\bar{x}\bar{y}\\ l_{xx}=\sum_{i=1}^nx_i^2-n\bar{x}^2\\ l_{yy}=\sum_{i=1}^ny_i^2-n\bar{y}^2\\ \hat{b}=\dfrac{l_{xy}}{l_{xx}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}\\ \hat{\sigma}^2=\dfrac{l_{yy}-\hat{b}^2l_{xx}}{n-2}\\ R=\dfrac{l_{xy}}{\sqrt{l_{xx}l_{yy}}}>R_\alpha(n-2)