高中圆锥曲线结论

若椭圆（$b^2>0$）或双曲线（$b^2<0$）

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

与直线

$$y=kx+m$$

交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，联立消 $y$

$$(b^2+a^2k^2)x^2+2kma^2x+a^2(m^2-b^2)=0$$

得

$$\Delta = 4a^2b^2(b^2+a^2k^2 - m^2) \geq 0$$ $$x_1+x_2=\frac{-2kma^2}{b^2+a^2k^2}, x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{b^2+a^2k^2}$$ $$y_1+y_2=\frac{2mb^2}{b^2+a^2k^2}, y_1y_2=\frac{b^2(m^2-a^2k^2)}{b^2+a^2k^2}$$ $$x_1y_2+x_2y_1=\frac{-2ka^2b^2}{b^2+a^2k^2}$$ $$|x_1y_2-x_2y_1|=|m|\frac{\sqrt{\Delta}}{b^2+a^2k^2}$$ $$|AB|=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta}}{b^2+a^2k^2}$$