群
半群
若 \(G\neq\varnothing\) 且对于二元运算符 \(\cdot\) 满足：
- \(\forall a,b \in G, a \cdot b\in G\)
- \(\forall a,b,c\in G, (a \cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)
则 \(G\) 是半群，记作 \((G,\cdot)\)
单位元
若 \(\forall a\in G, a\cdot e=e\cdot a=a\)
则 \(e\) 是单位元或幺元
幺半群
若 \(G\) 是半群，且 \(e\in G\)
则 \(G\) 是幺半群
逆元
若 \(a,b\in G\land a\cdot b=b\cdot a=e\)
则 \(a\) \(b\) 互为逆元
群
若 \(G\) 是幺半群，且 \(\forall a \in G, \exists b\in G \text{ s.t. } a\cdot b=e\)
则 \(G\) 是群
Abel 群
若 \(G\) 是群，且 \(\forall a,b \in G, a \cdot b = b \cdot a\)
则 \(G\) 是 Abel 群或交换群
环
环
对于集合和运算 \(R=(G, +, \cdot)\)，满足：
- \((G, +)\) 是 Abel 群
- \((G, \cdot)\) 是半群
- \(\forall a,b,c\in G, (a + b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c\)
- \(\forall a,b,c\in G, c\cdot(a + b)=c\cdot a + c\cdot b\)
则 \(R\) 是环
零元
\((R,+)\) 称为 \(R\) 的加法群，加法群的单位元记作 \(0\)，称为 \(R\) 的零元
零因子
若 \(a\in R,\exists b \in R\land b \neq0\text{ s.t. } a\cdot b=0(b\cdot a=0)\)
则称 \(a\) 是左（右）零因子
整环
若 \(R\) 至少有两个元素，且不含非零零因子
则称 \(R\) 是整环
单位元
若 \(R\) 是环，且 \(1 \in R, \forall a\in R \text{ s.t. } 1\cdot a=a\cdot 1=a\)
则称 \(1\) 是 \(R\) 的单位元或幺元，\(R\) 为有单位元的环
乘法逆元
若 \(a,b\in R\land a\cdot b=b\cdot a=1\)
则 \(a\) \(b\) 互为乘法逆元
除环
若 \(R\) 是整环，且 \(\forall a \in R\land a \neq0, \exists b\in R\text{ s.t. } a\cdot b=1\)
则 \(R\) 是除环
交换环
若 \(R\) 是环，且 \(\forall a,b \in G, a \cdot b = b \cdot a\)
则 \(R\) 是交换环
域
若 \(F\) 是交换除环
则 \(F\) 是域